G : comme Gogol ou l’île de la tétration

Intelligence du numérique et fractures artificielles. Fracture numérique ou fracture calculatoire ?

Grands nombres et nombres gogols

« Google »… l’origine du nom de cette entreprise est « googol ». Quid de l’étymologie de ce mot ? La légende voudrait qu’un enfant de neuf ans à qui son oncle mathématicien a demandé d’imaginer un nombre « très grand » aurait répondu « 1 suivi de plein de 0 », ou « 1 suivi de 100 zéros » (10¹⁰⁰). Ce nombre a été appelé « googol » en anglais et « gogol » en français^[1]. Ce nombre n’a aucun sens mathématique. Et – cela tombe bien – en français, « gogol » signifie « débile », « idiot » ou « stupide », d’après les dictionnaires ; son féminin « gogole » est un anagramme exact de « Google ». 

Le nommage de ce nombre sans sens ne repose sur aucune autre volonté que celle d’aligner un grand nombre de symboles. Les deux jeunes fondateurs de Google s’en sont emparés pour nommer leur entreprise. Puis d’un deuxième : « googolplex », soit 10^google, sans sens lui non plus, pour nommer le siège social mondial de l’entreprise Google (et de sa maison mère, Alphabet) : le « Googleplex »^[2].

Ces nombres sont en quelque sorte des nombres « cons », au sens de la définition que propose « Petit binaire »^[3] pour les humains ainsi qualifiés : un « con » serait une personne qui, manipulant des symboles (des mots), donne l’illusion de les comprendre, d’y associer un sens, mais rarement longtemps. Plus la durée de l’illusion est courte, plus le « con » serait « con » ! Il n’associe ni de sémantique ni d’implicite social aux mots qu’il prononce ou entend. Ainsi en est-il de « google » et « googleplex » : des suites de symboles qui ne portent pas de sens.

Heureusement, l’informatique n’engendre pas que des nombres gogols – oui, avec « s », parce que « gogol » est à la fois un nom commun et un adjectif. Elle engendre une myriade de grands nombres, à mesure que la miniaturisation des composants électroniques progresse : des nombres physiques, des nombres logiques et les gogol-nombres… ou nombres « cons » au sens petitbinairien du terme. Cette taxinomie arbitraire exige une explication, que voici.

Considérons les QR-codes. Les plus petits comptent 252 = 625 pixels, et les plus grands, 1772 = 31329 pixels. Ce sont des nombres « physiques » puisqu’ils mesurent la taille d’une image (ici celle des QR-codes). Mais ces nombres ne sont pas « grands », alors que le nombre d’octets d’un support de stockage, qui peut valoir plusieurs trillions d’octets (10¹⁸), l’est. Les volumes de données sur Internet nécessitent le recours à des nombres plus grands encore : 10²¹, voire 10²⁴ octets. Ce sont toujours des nombres physiques^[4].

Et les nombres « logiques » ? C’est, par exemple, le nombre de petits QR-codes différents. Chacun de leurs 625 pixels peut être noir ou blanc. Il existe donc 2625 (environ 10¹⁸⁸) petits QR-codes différents. Monstrueux, comme nombre^[5], au point d’être incommensurablement plus grand que le nombre de particules de l’univers ! Si l’on remplaçait chaque particule de l’univers par… autant de particules qu’en contient l’univers, le nombre obtenu (10¹⁶⁰) demeure tout petit par rapport au nombre de petits QR-codes. Les nombres logiques comptent des « possibles » et non pas des objets matériels, mais ils ont un sens.

Les gogol-nombres, quant à eux, ne racontent, ne mesurent ni ne signifient rien.

Pourtant, les mathématiques et l’informatique ont produit tant de grands nombres, plus grands encore que ces nombres « cons », plus grands même que « gogolplexplex » qui vaut 10^gogolplex, mais qui tentent de conserver un sens, bien qu’ils en perdent à mesure qu’ils grandissent.

Pour les décrire, plusieurs notations ont été inventées, comme celle proposée par D. Knuth, dite des « puissances itérées »^[6]. Reprenons à la base. Le petit enfant apprend à compter en faisant « +1, +1, +1… » sur ses doigts. C’est le niveau « 0 » de l’arithmétique. Puis rapidement, à l’école primaire, il apprend à additionner directement 4 et 7, 12 et 39, etc. C’est le niveau 1. Mais l’addition, ça peut vite être répétitif ! Qu’à cela ne tienne : voici venu le temps de la multiplication, vue comme une suite d’additions : niveau 2. Et au lycée, les puissances apparaissent, parce que « a x a x a… x a » (b fois) s’écrit plus simplement a^b (a puissance b, ou a^b). Nous voici au niveau 3. Qu’amorcent les gogol-nombres ? Des puissances de puissances de… de puissances. Une sorte de niveau 4 ! a^a^a…^a (b fois) est noté ba, ou, par D. Knuth : a↑↑b. Ce niveau 4 est nommé la « tétration ». Et le niveau 5, la « pentation » : a ↑↑↑b, soit une succession de tétrations. Pas en reste, l’hexation – a ↑↑↑↑b – est une succession de pentations^[7]. Le tétra-nombre 10↑↑10 est déjà un nombre bien plus grand que notre pâle gogolplex ! Au niveau 4, il existe une esquisse de mathématiques correspondante, donnant un sens à certaines opérations et aux nombres qu’elles calculent.

Mais la mathématique associée à la pentation est embryonnaire et celle associée à l’hexation est inexistante. Parce que plus on monte dans les « niveaux » calculatoires, et donc dans les outils syntaxiques à même d’engendrer de grands nombres, moins on sait en exhiber une sémantique, un intérêt réel applicable à notre monde physique. Si les mathématiques de niveau 0 à 3 représentent des continents de connaissances, le niveau 4 – la tétration – n’est qu’une île, le niveau 5 – la pentation – n’est qu’un rocher, et le niveau 6, une chimère ! Même construits intelligemment, les trop grands nombres deviennent des gogol-nombres…

Un problème inédit survient avec le XXIe siècle : les nombres physiques, a priori gorgés de sens puisqu’ils caractérisent une réalité du monde, deviennent si grands avec l’informatique qu’ils deviennent aussi peu dignes d’intérêt réel que les gogol-nombres. Ainsi en va-t-il du nombre de pages Internet qui se comptent en trillions – des nombres à 13 chiffres, bientôt 14. Jusqu’au début des années 2020, ces nombres correspondaient à des données réelles, au sens de « créées par des êtres humains ». Depuis peu, les données sont à la fois l’entrée des systèmes d’IA et celles qu’ils produisent, en nombres aussi grands que dépourvus de sens. Par exemple, en 2025, plusieurs dizaines de milliers de morceaux musicaux générés par ordinateur envahissent chaque jour la plateforme Deezer. Il y a plus de vidéos sur Youtube que d’êtres humains sur Terre, et un tiers d’entre elles sont générées par IA en 2025. Il y a environ deux fois plus de téléphones portables dans le monde que d’êtres humains. Avant la fin du XXIe siècle, le nombre de propriétaires décédés ayant des pages Facebook sera supérieur au nombre de propriétaires vivants. Ces nombres sont tous des nombres physiques, qui mesurent des entités réelles. Mais leur gigantisme fait que les phénomènes sociétaux sous-jacents perdent eux-mêmes tout sens.

L’informatique n’a pas le monopole des « gogol-nombres  ». Donald Trump en invente aussi, et parfois des petits. Comme le nombre de guerres qu’il aurait arrêtées en un an. Faut-il lui soustraire le nombre de guerres qu’il a engendrées ? Allez savoir… et quel sens ces nombres ont-ils ? Aucun. Pas plus que les annonces de 500 milliards de dollars à investir dans l’IA par les USA.

L’Europe sait aussi produire des gogol-nombres. Par exemple : 8 x 10¹¹. C’est le nombre d’euros que les Européens prétendaient pouvoir investir dans un effort supplémentaire d’armement. D’où provient ce nombre à 12 chiffres ? De la différence entre le taux moyen réel d’investissement des pays membres de l’UE (1,9%) et un taux cible de 3%… à l’horizon 2030. +800 G€^[8] en 5 ans. Avec un investissement en 2025 de 381 G€. Et les USA, annuellement ? Plus de 900 G€. Avec un objectif pour 2027 de 1500 G€. Les 800 G€ de l’UE sont donc un nombre doublement gogol : d’une part, il ne correspond aucunement à un investissement réel. Il n’est rien d’autre qu’un calcul sur un coin de tableur du Conseil de l’Europe. D’autre part, il est ridiculement faible par rapport à l’effort des USA. Mais sur le seul sol français on trouve plus grand et plus gogol, comme nombre : 3300 G€. C’est la dette du pays en 2025. Il manque « juste » un autre nombre pour donner un sens à cette dette : les avoirs financiers que détiennent les Français : plus de 6600 G€. Soit le double de la dette. Ce second chiffre relativise le premier, non ? Tout seul, le premier est un nombre gogol. Sans grand sens. Avec son alter ego de l’épargne nationale, il retrouve un sens. Et avec le patrimoine total, d’environ 20 000 G€, la perspective change encore !

On a donc identifié plusieurs types de gogol-nombres. Des nombres sans sens a priori ; des nombres physiques mais caractérisant une dérive « non-sens » du monde numérique actuel ; ou encore des nombres décontextualisés, qu’affectionne le monde socio-économique.

Pour conclure : « Mort aux (nombres) cons ! » Et en particulier lorsqu’ils sont vides de sens, même bardés de mathématiques et exemplifiés par l’informatique, lorsqu’ils induisent en erreur sur des sujets graves comme celui du réarmement, lorsque leur caractère « con » est renforcé par un nom « con », en un mot comme en cent, lorsqu’étymologie et sémantique ont quitté le navire de la réflexion, de la mise en contexte. Il serait dommageable que dans l’armée des gogol-nombres déferlant sur le XXIe siècle, l’informatique continue à tenir le rôle de généralissime… parce que, ne l’oublions jamais, les nombres^[9] (en particulier en informatique), c’est comme les cochons, plus ça devient gros, plus ça devient con !

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